<p>KMP 算法是 D.E.Knuth、J,H,Morris 和 V.R.Pratt 三位神人共同提出的，称之为 Knuth-Morria-Pratt 算法，简称 KMP 算法。该算法相对于 Brute-Force（暴力）算法有比较大的改进，主要是消除了主串指针的回溯，从而使算法效率有了某种程度的提高。</p><p><strong>提取加速匹配的信息</strong></p><p>上面说道 KMP 算法主要是通过消除主串指针的回溯来提高匹配的效率的，那么，它是则呢样来消除回溯的呢？就是因为它提取并运用了加速匹配的信息！</p><p>这种信息就是<span style="color: rgb(255, 0, 0);">对于每模式串 t 的每个元素 t j，都存在一个实数 k ，使得模式串 t 开头的 k 个字符（t 0 t 1…t k-1）依次与 t j 前面的 k（t j-k t j-k+1…t j-1，这里第一个字符 t j-k 最多从 t 1 开始，所以 k < j）个字符相同。如果这样的 k 有多个，则取最大的一个。<span style="color: rgb(0, 0, 0);">模式串 t 中每个位置 j 的字符都有这种信息，采用 next 数组表示，即 next[ j ]=MAX{ k }。</span></span></p><p>加速信息，即数组 next 的提取是整个 KMP 算法中最核心的部分，弄懂了 next 的求解方法，也就弄懂了 KMP 算法的十之七八了，但是不巧的是这部分代码恰恰是最不容易弄懂的……，先上代码</p><pre class="brush:cpp;toolbar:false">void Getnext(int next[],String t) { int j=0,k=-1; next[0]=-1; while(j<t.length-1){ if(k == -1 || t[j] == t[k]){ j++;k++; next[j] = k; } //此语句是这段代码最反人类的地方，如果你一下子就能看懂，那么请允许我称呼你一声大神！ else k = next[k]; } }</pre><p>ok，下面咱们分三种情况来讲next 的求解过程</p><p><strong>1、特殊情况</strong></p><p>当 j 的值为 0 或 1 的时候，它们的 k 值都为 0，即 next[0] = 0、next[1] =0。但是为了后面 k 值计算的方便，我们将 next[0] 的值设置成 -1。</p><p><strong>2、当 t[j] == t[k] 的情况</strong></p><p>举个栗子</p><p><p style="text-align: center;"><img src="/upload/content/20200512/1589297970990360.jpg" alt="KMP算法详解以及KMP算法实现"title="KMP算法详解以及KMP算法实现" width="550px"></p><p>观察上图可知，当 t[j] == t[k] 时，必然有"t[0]…t[k-1]" == " t[j-k]…t[j-1]"，此时的 k 即是相同子串的长度。因为有"t[0]…t[k-1]" == " t[j-k]…t[j-1]"，且 t[j] == t[k]，则有"t[0]…t[k]" == " t[j-k]…t[j]"，这样也就得出了next[j+1]=k+1。</p><p><strong>3、当t[j] != t[k] 的情况</strong></p><p>关于这种情况，在代码中的描述就是“简单”的一句 k = next[k]；。我当时看了之后，感觉有点蒙，于是就去翻《数据结构教程》。但是这本书里，对于这行代码的解释只有三个字：k 回退…！于是我从“有点蒙”的状态升级到了“很蒙蔽”的状态，我心想，k 回退？我当然知道这是 k 退回，但是它为什么要会退到 next[k] 的位置？为什么不是回退到k-1？？？巴拉巴拉巴拉…此处省略一万字。</p><p>我绞尽脑汁，仍是不得其解。于是我就去问度娘…</p><p>在我看了众多博客之后，终于有了一种拨云见日的感觉，看下图</p><p><p style="text-align: center;"><img src="/upload/content/20200512/1589298003986941.jpg" alt="KMP算法详解以及KMP算法实现"title="KMP算法详解以及KMP算法实现" width="550px"></p><p>由第2中情况可知，当 t[j] == t[k] 时，t[j+1] 的最大子串的长度为 k，即 next[j+1] = k+1。但是此时t[j] != t[k] 了，<span style="color: rgb(255, 0, 0);">所以就有 next[j+1] < k，那么求 next[j+1] 就等同于求 t[j] 往前小于 k 个的字符（包括t[j]，看上图<span style="color: rgb(0, 112, 192);">蓝色框框</span>）与 t[k] 前面的字符（<span style="color: rgb(0, 176, 80);">绿色框框</span>）的最长重合串，即 t[j-k+1] ~ t[j] 与 t[0] ~ t[k-1] 的最长重合串（这里所说“最长重合串”实不严谨，但你知道是符合 k 的子串就行…），那么就相当于求 next[k]（只不过 t[k] 变成了 t[j],但是 next[k] 的值与 t[k] 无关）!!!</span>。所以才有了这句 k = next[k]，如果新的一轮循环（这时 k = next[k] ，j 不变）中 t[j] 依然不等于 t[k] ，则说明倒数第二大 t[0~next[k]-1] 也不行，那么 k 会继续被 next[k] 赋值（这就是所谓的 k 回退…），直到找到符合重合的子串或者 k == -1。</p><p>至此，算是把求解数组 next 的算法弄清楚了（其实是，终于把 k = next[k] 弄懂了…）</p><p>因为这个算法神奇难解之处就在k=next[k]这一处的理解上，网上解析的非常之多，有的就是例证，举例子按代码走流程，走出结果了，跟肉眼看的一致，就认为解释了为什么k=next[k]；很少有看到解释的非常清楚的，或者有，但我没有仔细和耐心看下去。我一般扫一眼，就大概知道这个解析是否能说的通。仔细想了三天，搞的千转百折，山重水复，一头雾气缭绕的。搞懂以后又觉得确实简单，但是绕人，烧脑。</p><p>再此特别感谢昵称为“sofu6”的博客园主，正是他的博客，让我这愚笨的脑袋瓜开窍了</p><p><strong>KMP算法实现</strong></p><p>当你求出了 next 数组之后，KMP 算法就很轻易搞定了，下面我用三张图，让你明白 KMP 算法完成匹配的整个过程。</p><p>以目标串：s，指针为 i ；模式串：t 指针为 j ; 为例</p><p><p style="text-align: center;"><img src="/upload/content/20200512/1589298087272659.jpg" alt="KMP算法详解以及KMP算法实现"title="KMP算法详解以及KMP算法实现" width="550px"></p><p>上图表示：“si-j ~ si-1” == “t 0 ~ t j-1”，s i != t j（前面都相等，但比较到 t j 时发现不相等了）且next[j] == k。</p><p><p style="text-align: center;"><img src="/upload/content/20200512/1589298148196229.jpg" alt="KMP算法详解以及KMP算法实现"title="KMP算法详解以及KMP算法实现" width="550px"></p><p>根据 next 数组的定义得知 “t k ~ t j-1” == “t 0 ~ t k-1”，所以 “t 0 ~ t k-1” == “si-k ~ si-1”</p><p><p style="text-align: center;"><img src="/upload/content/20200512/1589298168994164.jpg" alt="KMP算法详解以及KMP算法实现"title="KMP算法详解以及KMP算法实现" width="550px"></p><p>将模式串右移，得到上图，这样就避免了目标穿的指针回溯。</p><p>都明了之后就可以手写 KMP 的代码了</p><pre class="brush:cpp;toolbar:false">int KMP(String s,String t) { int next[MaxSize],i=0;j=0; Getnext(t,next); while(i<s.length&&j<t.length) { if(j==-1 || s[i]==t[j]){ i++; j++; } else j=next[j];//j回退。。。 } if(j>=t.length) return (i-t.length);//匹配成功，返回子串的位置 else return (-1);//没找到 }</pre><p><strong>改进后的 next 求解方法</strong></p><p>先来看一下上面算法存在的缺陷：</p><p><p style="text-align: center;"><img src="/upload/content/20200512/1589298197928743.jpg" alt="KMP算法详解以及KMP算法实现"title="KMP算法详解以及KMP算法实现" width="550px"></p><p>显然，当我们上边的算法得到的next数组应该是[ -1，0，0，1 ]</p><p>所以下一步我们应该是把j移动到第1个元素咯：</p><p><p style="text-align: center;"><img src="/upload/content/20200512/1589298206978257.jpg" alt="KMP算法详解以及KMP算法实现"title="KMP算法详解以及KMP算法实现" width="550px"></p><p>不难发现，这一步是完全没有意义的。因为后面的B已经不匹配了，那前面的B也一定是不匹配的，同样的情况其实还发生在第2个元素A上。</p><p>显然，发生问题的原因在于<span style="color: rgb(255, 0, 0);">t[j] == t[next[j]]</span>。</p><p>所以我们需要谈价一个判断：</p><pre class="brush:cpp;toolbar:false">void Getnext(int next[],String t) { int j=0,k=-1; next[0]=-1; while(j<t.length-1) { if(k == -1 || t[j] == t[k]) { j++;k++; if(t[j]==t[k])//当两个字符相同时，就跳过 next[j] = next[k]; else next[j] = k; } else k = next[k]; } }</pre>
